Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

donderdag 11 januari 2018

Een paar wiskundige trucjes ontsluierd.


Wiskundig trucje I

Een getal bestaat uit 3 cijfers, waarvan het cijfer voor de honderdtallen groter is dan het cijfer voor de eenheden.
Bijvoorbeeld het getal 321.
Keer het getal om. je krijgt 123.
Trek het tweede getal van het eerste af:  321 – 123 = 198.
Keer dit antwoord om. Je krijgt 891.
Tel het laatste getal bij dat antwoord op: 198 + 891 = 1089

Er komt op deze manier bij een getal met drie cijfers altijd 1089 uit, als het cijfer voor de honderdtallen naar groter is dan het cijfer voor de eenheden.
Dus:

  312
  123
  099      (je moet de 0 wel noteren!)
  990 +
1089

Hoe kan dat?

abc         wordt  omdat c < a en b-1 < b    vanwege het lenen         a – 1   b – 1 + 10   c + 10
cba                                                                                                                c                  b           a    
                                                                                                                   a-1-c   b-b-1+10   c+10-a              

( b-b-1+10 = 9, er zijn dus na deze stap altijd 9 tientallen)

de volgende stap
   a-1-c   9   c+10-a
c+10-a   9     a-1-c +
        10   8           9

Want (tientallen)  9 + 9 = 18 = 8 + 10, 8 tientallen en 1 honderdtal
En (honderdtallen):  a-1+c + c+10-a = 9 en daar komt 1 honderdtal bij.                                                                                                                                             

Wiskundig trucje II

Nummer links en rechts de vingers van je hand van 6 tot en met 10. (de duim is 6, de pink is 10)
Houd nu een vinger links tegen een vinger rechts.
Het product van de getallen op de beide vingers blijkt nu gelijk te zijn aan:
Wat betreft de tientallen
Tel het aantal vingers vanaf de duim (6) t/m de vinger met het gekozen getal links en tel dat op bij het aantal vingers rechts vanaf de duim (6) t/m de vinger met het gekozen getal.
Wat betreft de eenheden:
Vermenigvuldig het aantal niet getelde vingers links met het aantal niet getelde vingers rechts.

Bijvoorbeeld:   6 x 9 = 54

 
   

Links is het aantal vingers tot en met de 6 dus 1.
Rechts is het aantal vingers tot en met de 9 dus 4.
1 + 4 = 5  en 5 x 10 = 50

Links zijn er nog 4 niet geteld en rechts is dat er 1.  4 x 1 = 4
En inderdaad: 50 + 4 = 54

Hoe kan dat?

Op de x-de vinger, vanaf de duim geteld, staat het getal x + 5.
Dus als je links de x-de vinger en rechts de y-e vinger kiest, dan is het product:
(x + 5) (y + 5 ) = 25 + 5x + 5y + xy.

Je hebt links dus x vingers geteld en 5 – x vingers niet geteld. Rechts y resp. 5 – y .

x + y  tientallen levert voor het product: (x + y) x 10 = 10x + 10y
De eenheden leveren voor het product (5 – x) (5 – y) = 25 – 5x – 5y + xy                                                                                                                                                                                                                                         
Het getal is dus  10x + 10y + 25 – 5x – 5y + xy = 25 + 5x + 5y + xy

De cirkel geblokt?

Op Facebook plaatste Wiskundelessen het volgende probleem.

Ik vond de volgende oplossing:




donderdag 4 januari 2018

vrijdag 8 september 2017

woensdag 6 september 2017

Huisjes stapelen

Een bezoek aan een museum in Brussel, waar ik onderstaand schildrij van René Magritte (La Poitrine) tegenkwam



Inspireerde me tot een serie van drie schilderijen, waarin ik met andere kleurschakeringen een stapeling huizen in verschillende versies op het doek zette, waarbij één erg geïnspireerd door Mondriaan-kleuren.




Escher meets Mondriaan (2)


Escher meets Mondriaan (2)



De omslag van het boek “Avonturen met onmogelijke figuren” van Bruno Ernst toont het mannetje uit de tekening “Belvedere” van M. C. Escher dat zit te staren naar een onmogelijke kubus. Die tekening is zwart-wit, maar op dat omslag zijn de bekende drie Mondriaan-kleuren gebruikt.



Ik heb die onmogelijke kubus in een ander aanzicht getekend, op de manier zoals een kubus in de wiskundeboeken van het VO meestal voorkomt, en weer de Mondriaankleuren gebruikt.





Eerder heb ik al een onmogelijke kubus van Bruno ernst in Mondriaankleuren geschilderd. Zie


 



Om de serie te completeren heb ik ten slotte één van de bekende onmogelijke figuren die Roger Penrose heeft gecreëerd in de Mondriaankleuren geschilderd, welk figuur is gebaseerd op de bekende onmogelijke Penrose-driehoek, oorspronkleijk getekend door Oscar Reutersvärd.

In het werk van Escher wordt het principe van deze onmogelijkheid regelmatig toegepast.

en: http://mathworld.wolfram.com/PenroseTriangle.html



zaterdag 19 augustus 2017

Reactie op een blog van Marcel Schmeier inzake realistsch rekenen


Op https://www.uitgeverijpica.nl/blogs/101-blog/527-oefening-baart-kunst schijft Marcel Schmeier een blog die stelling neemt tegen het realistisch rekenen en waarin hij een pleidooi houdt om "Deze door de didactiek van de 21e eeuw te vervangen, met heerlijk veel ‘ouderwets’ stampen, drillen, herhalen, oefenen, inslijpen. Dat is namelijk hard nodig". Hij baseert zich op de nodige wetenschappelijke ondersteuning voor zijn stellingname.

Onderstaande mijn reactie  op zijn blog, die ook te lezen is onder die blog zelf:

Iedereen beroept zich in het rekendebat op wetenschappelijke bronnen en wetenschappelijke bewijzen, maar ik denk dat ook de ervaring in de klas en de opgebouwde expertise van de leraar, steeds weer aangepast aan de situatie, een duchtig woordje meespreekt.

Ik put wat mijn ervaring betreft uit mijn eigen schooltijd en mijn docentschap en ik kom dan tot de conclusie dat de zwart-wit-stellingname in het rekendebat te kort doet aan beide inzichten, zowel die van de traditionele als de realistische rekenfilosofie (of -ideologie?).

Ik kan me niet herinneren dat het “‘ouderwets’ stampen, drillen, herhalen, oefenen, inslijpen” in alle gevallen heeft geleid tot beter en beklijvende reken- (en wiskunde-) resultaten.  Het stampen, drillen en herhalen leidde ook vaak tot automatismen die zonder begrip en inzicht werden toegepast en dan tot onjuiste resultaten leidden.

Volgens mij gaat het één niet zonder het ander en is begrip en inzicht een basis om via oefening uiteindelijk het rekenresultaat te behalen wat voor ogen staat.

In principe schemert dat ook door in deze blog: vanuit de realistisch-rekenen-methoden naar een beklijvend resultaat door oefenen.

Ik vraag me dus af of de volgorde “eerst oefenen, dan inzicht” voor elke leerling en in alle gevallen opgeld doet en z’n waarde heeft. Natuurlijk zal je eerst de elementaire basisbeweringen moeten aanleren om verder te kunnen. Dat is net zoals je eerst moet leren fietsen voor je met je fiets de straat op kunt en de nodige verkeersinzichten aangeleerd krijgt. Inzichten die om begrip vragen en dan geautomatiseerd dienen te worden. Ik denk dat voor heel wat leerlingen vanaf een bepaald stadium het automatiseren en inslijpen des te gemakkelijker en vlotter gaat als ze snappen wat de bedoeling is en niet zomaar “omdat het moet”, want dat soort stamp-kennis raak je volgens mij weer kwijt als die niet onderhouden wordt, ofwel je weet niet hoe je het moet gebruiken. Dat herinner ik me tenminste van mijn eigen schooltijd van medeleerlingen die het rekenen niet duurzaam en toepasbaar onder de knie kregen. Net zo goed als ze de rijtjes plaatsnamen bij aardrijkskunde wel kunnen opdreunen, maar geen idee hebben hoe ze er komen moeten, als ze onderweg zijn.

Ik houd net zomin een lofzang op realistisch rekenen als op het traditionele rekenen maar denk dat de beste elementen van beide elkaar kunnen versterken.

Maar helaas, in het rekendebat schijnen ze elkaar te moeten uitsluiten en worden we met het ene wetenschappelijke bewijs tegenover het andere om de oren geslagen.  Beide zogenaamd “evidence based”, maar de praktijk is elke dag anders dan de theorie van het experiment. Die praktijk kun je beter benaderen met een “evidence-informed” approach. Aan de docent, maar nog meer, het docententeam, om verstandige en passende keuzes te maken, ook wat betreft methodes en aanvullingen daarop. Mede in het licht van hun eigen ervaringen en competenties.

(Een eerdere blog van mij hierover: https://aowiskunde.blogspot.nl/2015/12/realistische-of-traditionele.html . Ik hoop dat alle links in de blog nog werken).